Dinâmica - Exercícios Resolvidos - 2

EX-01

Um corpo desliza de um  plano inclinado que forma um ângulo de 30º com a horizontal.  Admitindo que v₀=0, que distância terá percorrido em 10 s? Que velocidade terá adquirido aos 50 m percorridos?

Solução:

A força responsável pelo deslizamento é a P₁

Então podemos escrever as seguintes equações:

Portanto,

a = g*sen(30º) → a = 9,8*(1/2) → a = 4,9 m/s²

MRUA

s = s₀ + v₀t + at²/2, ( s₀ = 0 e v₀ =0 )

t = 10 s; s = at²/2 = (4,9*10²)/2 = 245 → ∆s = 245 m

Por Torricelli

v² = v²₀ +2a∆s (v₀=0, ∆s=50 m, a=4,9 m/s²)

v² = 2a∆s = 2*4,9*50 = 10*49 → v = 7√10 m/s

Resposta:  ∆s = 245 m  e  v = 7√10 m/s

EX-02 (E.E. São Carlos)

Os dois planos perpendiculares entre si OB e AO podem se fixados em qualquer posição definida pelo ângulo α girando-os em torno de sua aresta horizontal em O.  Os corpos C e D de massas iguais, valendo 30 kg cada, podem deslizar sem atrito sobre os planos estando ligados por uma corda inextensível que passa pelas polias E e F. Admitindo-se que a aceleração da gravidade seja 10 m/s², calcular a tensão na corda para a posição em que os corpos têm a máxima aceleração. Desprezam-se as massas das cordas e das polias bem como os atritos nos eixos E e F. 

Solução:

Vamos supor que o corpo C está subindo e o corpo D descendo. 

P_c = P_d = P = m*g, onde m = massa de cada corpo (m_c = m_d).

Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica, temos que:

F_R = (m_c + m_d)*a = 2*m*a

F_R = P_d.sen(90-α) – P_C.senα = P.sen(90-α) – P.senα

Comparando as duas equações temos que:

2*m*a = P*sen(90-α) – P*senα; e sabendo-se que sen(90-α) = cosα, tem-se:

2*m*a = P*cosα – P*senα  → 2*m*a = P*(cosα – senα) →

2*m*a = m*g*(cosα – senα)   →  2*a = g*(cosα – senα) →

a = (g/2)*(cosα – senα)

Determinando α para que a aceleração a seja máxima.

Vamos elevar ambos os membros ao quadrado:

a² = (g/2)². (cosα – senα)² →  a² = (g/2)² . (cos²α – 2.cosα.senα + sen²α)

Sabendo-se que:  cos²α + sen²α = 1 e  2.cosα.senα = sen2α, tem-se:

a² = (g/2)². (1-sen2α), analisando esta equação, devemos ter  (1-sen2α) > 0 e para que (1-sen2α) seja máxima, devemos ter sen2α = 0, então 2α = 0,

logo α = 0.

Portanto,

a² = (g/2)². (1-sen2α) = (g/2)². (1-0) → a² = (g/2)² → a = g/2 = 10/2 →

a = 5 m/s²  (é a aceleração máxima).

Calculando a força de tração T para a = 5 m/s².

Corpo C: (equação fundamental da dinâmica)

T = m*a = 30*5 = 150 N → T = 150 N

Resposta: a tensão na corda para a posição em que os corpos têm a máxima aceleração é 150 N.

EX-03

Que força horizontal deve ser aplicada constantemente a M = 21 kg para que m1 = 5 kg não se movimente em relação a m2 = 4 kg? Despreze os atritos. Considere g = 10 m/s².

Solução:

Desenhando as forças envolvidas para nossa solução, tem-se:

No corpo B:

T = mB*a, onde a = aceleração do sistema, então

T = 5a

No corpo C:

Decompondo a força de tração T na direção horizontal (x) e vertical (y):

Ty = P_C = m_C*g = 4*10 = 40 N  → Ty = 40 N

Tx = m_C*a = 4a → Tx = 4a

Tendo T, Tx e Ty, vamos determinar a aceleração a. 

Por Pitágoras:

(T)² = (Tx)² + (Ty)²

(5a)² = (4a)² + 40²

25a² = 16a² + 40²

9a² = 40²  → (3a)² = (40)² → 3a = 40 → a = 40/3  m/s²

Agora vamos considerar o sistema, isto é, (M + m₁ + m₂), e aplicar a equação fundamental de dinâmica:

F_R = (M + m₁ + m₂)*a

F_R = F

Portanto,

F = (M + m₁ + m₂)*a = (21 + 5 +4)*40/3 = 30*40/3 = 400 N →  F = 400 N

EX-04

A cabina e a carga de um elevador utilizado no poço de uma mina de 900 m de profundidade tem massa 5 ton. Durante o seu movimento as forças passivas têm resultante uma força de intensidade 500 kgf de sentido oposto ao movimento.

Estando a cabina no fundo do poço, é aplicada uma força de tração de 6000 kgf sobre o cabo e que determina o seu movimento ascensional. No fim de 150 m de percurso, o esforço de tração é modificado de modo que o movimento resulta uniforme, nos 600 m seguintes de percurso. O esforço de tração é em seguida novamente alterado de maneira que a cabina, agora com movimento uniformemente variado, atinge a boca do poço com velocidade nula. Pede-se:

a)  Representar o diagrama horário e o das velocidades de cada fase do movimento e calcular a duração total de ascensão.

b)  Calcular a intensidade da força de tração aplicada ao cabo na 2ª e 3ª fase da ascensão.

c)   Determinar quais seriam as indicações fornecidas por um dinamômetro situado no interior da cabina e que mantivesse suspenso um corpo de peso 20 kgf em cada uma das três etapas do movimento. Assume-se que no lugar a aceleração da gravidade é normal. 

Solução:

Para evitar confusões vamos transformar em SI (distância em metros, massa em quilogramas e tempo em segundo; portanto, força em N).

Adotando g = 10 m/s² (aceleração da gravidade) e 1 kgf ≈ 10 N.

5 ton = 5000 kg

500 kgf = 5000 N

6000 kgf = 60000 N

Para 1ª FASE, foram informados os seguintes dados:

T = 6000 Kgf = 60000 N nos primeiros 150 m.

F_R = m.a (Eq. Fundamental da Dinâmica).

Onde F_R = força resultante, m = massa da cabina + carga e a=aceleração

Portanto,

60000 – (50000 + 5000) = 5000*a → a = 1 m/s²

Conhecida a aceleração, pela Equação de Torricelli, tem-se a velocidade na posição 150 m.

v² = v₀² + 2a∆s, onde v₀ = 0, ∆s = 150 m e a = 1 m/s²

Logo,

v² = 0 + 2*1*150 = 300 → v = √300 = 10√3 → v = 10√3 m/s

Determinar o tempo gasto na 1ª FASE, usando a equação horária do movimento:

s = s₀ + v₀t + at²/2, onde s = 150 m, s₀ = 0 e  v₀ = 0

Portanto,

s = at²/2 → 150 = (1/2).t²  →  t = 10√3 s

Sabendo-se a velocidade v = 10√3 m/s e ∆s = 600 m, então podemos calcular o tempo gasto nesta fase:

s = v*t → 600 = 10√3*t → t = 20√3 s

A força de tração T durante 2ª Fase:

F_R = 0, pois MU:

T = 50000 + 5000 = 55000 → T = 55000 N, ou T = 5500 kgf

Para esta fase conhecemos a velocidade fina (v =0), a velocidade inicial (v₀=10√3 m/s) e o espaço a percorrer (∆s = 150 m).  Para determinar a desaceleração do sistema, vamos aplicar a Equação de Torricelli, novamente:

Portanto,

v² = v₀² + 2a∆s → 0² = (10√3)² + 2a.150 → 0 = 300 +300a → a = -1 m/s²

(por intuição poderíamos chegar a este valor, porque o sistema inicialmente, em repouso no fundo do poço, teve que acelerar com (a=1 m/s²) para chegar a velocidade de 10√3 m/s, percorrendo os 150 m iniciais.  Logo, o mesmo sistema para desacelerar de velocidade 10√3 m/s até repouso, percorrendo a mesma distância, portanto, a desaceleração seria a = -1 m/s².)

Com mesmo raciocínio:

Tempo de aceleração é igual ao tempo de desaceleração.

Portanto,

t = 10√3 s

Determinar a força de tração T durante a desaceleração.

F_R = m.a

T – (50000 + 5000) = 5000*(-1) → T = 55000 – 5000 → T = 50000 N ou T=5000 kgf.

a)

Agora temos todos os dados para desenhar o diagrama horário e velocidade.

Tempo total = 40√3 s

b)

Tração na FASE-2 = 55000 N, ou 5500 kgf

Tração na FASE-3 = 50000 N, ou 5000 kgf

c)

Na FASE-1;  a = 1 m/s², portanto:

T – P = m.a →  T = m.a + P = 20.1 + 200 = 220 N → T = 220 N, ou T = 22 Kgf

Na FASE-2; a = 0, portanto:

T – P = m.a → T = P → T = 200 N, ou T = 20 kgf

Na FASE-3: a = -1 m/s², portanto:

T – P = m.a → T = 20(-1) + 200 = 180 N → T = 180 N, ou T = 18 kgf

EX-05

Um trem constituído de 20 vagões, cada um dos quais tem peso igual a 50 ton*; sobe uma rampa cuja inclinação é 1%.  A resistência oposta ao deslocamento do comboio vale 3,6 kg*/ton* de trem.  Determinar a intensidade da força de tração necessária para aumentar a velocidade da composição de 18 km/h para 54 km/h numa distância de 600 m. Considerar a aceleração da gravidade local igual a g=10 m/s².

Solução:

Vamos resolver o problema no SI (Sistema Internacional).

Adotar g = 10 m/s²

Calculando a massa total do sistema:

1 vagão ─  50 ton* = 500 000 N

Portanto, 20 vagões ─ 50.20 ton* = 1 000 ton* = 10 000 000 N

Logo, a massa total do sistema M = 1 000 000 kg

Calculando a força de resistência total:

3,6 kg*/ton* de massa do trem.

Portanto,

3,6 kg* → 36 N

1 ton* → 10 000 N , então 36 N para cada 10 000 N de trem, logo a resistência total é R = 36 000 N → R = 36 x 10⁺³ N

Calculando a componente do peso total que nos interessa:

P = 10 000 000 N

Sen0,57º =  9,95 x 10^-3

Portanto, P₁ = P.sen0,57º = 10 000 000 * 9,95 x 10^-3 → P₁= 99,5 x 10⁺³  N

Calculando a aceleração do sistema, com as informações que temos sobre a variação da velocidade e da distância percorrida.

Aplicando a equação de Torricelli, tem-se:

v = 54 km/h = 15 m/s

v₀ = 18 km/h = 5 m/s

∆s = 600 m

v² = v₀² +2a∆s  →   15² = 5² + 2.a.600  → 200 = 1200.a → a = 1/6 m/s²

T – (R + P₁) = M.a

T = M.a + (R + P₁)  →  T = 1 000 000.1/6 + (36 000 + 99 500)  →

T = 166,67 x 10⁺³ + 36 x 10⁺³ + 99,5 x 10⁺³  → T = 302,17 x 10⁺³  N →

ou T = 30,2 ton*

Resposta: a força de tração necessária é T = 30,2 ton*

EX-06

Um automóvel encontra-se animado de um movimento uniforme sobre uma via retilínea e horizontal com uma velocidade de 72 km/h. Num determinado momento o motorista aciona os freios, com uma força suposta constante e observa que o fio que sustenta um mascote e preso ao teto do carro, experimenta uma deflexão de 30º em relação ao vertical.  Determinar:

a)     quanto tempo após terem acionados os freios o carro pára;

b)     a distância percorrida pelo carro até parar;

c)      a intensidade da força que freia o carro, supondo que a massa do mesmo seja 1200 kg.  Adotar g = 9,81 m/s².

Solução:

a) Calculando o tempo de freio:

T₁ = T.sen30º = T/2  → T₁ = T/2  (1)

T₂ = T.cons30º , também, T₂ = P = m.g → T₂ = m.g  (2)

Aplicando a Equação Fundamental da Dinâmica (em mascote), tem-se:

F_R = m.a

Porém, F_R = T₁ → T₁ = m.a → T.sen30º = m.a → T = 2.m.a

T² = T₁² + T₂² → (2.m.a)² = (m.a)² + (m.g)²  → (2.a)² = (a)² + (g)² →

4.a² = a² + g² → 3.a² = g² → a = √3/3.g = √3/3.9,81 = 5,66 → a = - 5,66 m/s² (negativo porque o movimento MRUA, retardado).

Como temos uma situação de MRUA do início de frenagem até a parada total, tem-se:

v = v₀ + a.t, onde v=0, v₀=20 m/s e a = - 5,66 m/s²

Portanto,

0 = 20 – 5,66.t → t = 3,53 s

b) Distância percorrida até parar:

s = s₀ + v₀.t + (a/2).t², onde s₀=0, v₀=20m/s, a= -5,66 m/s²

Portanto,

∆s = 20*3,53 – 5,66/2*(3,53)² = 35,33 → ∆s = 35,33 m

c) Força de frenagem:

F_R = (M + m).a, sendo m = desprezível. 

Logo: F_R = M.a →  F_R = 1200*5,66 = 6792 → F_R = 6792 N

EX-07

Um elevador de peso1000 kgf desce com velocidade constante e igual a 3 m/s. Num determinado instante ele é freiado e pára após um percurso de 3,6 m.  Determinar em kgf a intensidade da força tensora no cabo enquanto o movimento é retardado.  Adotar g = 9,8 m/s².

Solução:

Vamos trabalhar no sistema internacional (SI).

Então, P = 1000 kgf = 9800 N

Aplicar a equação de Torricelli para calcular a aceleração a:

v = v₀² + 2.a.∆s,  (v = 0; v₀ = 3 m/s; ∆s = 3,6 m)

0 = 3² + 2.a.3,6 → - 9 = 7,2.a → a = - 1,25 m/s²

Equação Fundamental da Dinâmica:

F_R = m*a,

Mas,

F_R = P – T

Logo:  P – T = m*a → 9800 – T = 1000*(-1,25) → 9800 ─ T = ─ 1250 →

─ T = ─ 1250 ─ 9800 → T = 11050 N → T = 11050/9,8 = 1127,6 Kgf

T = 1127,6 Kgf

EX-08

Determinar a intensidade da força de tração que deve ser exercida no cabo que sustenta um elevador de peso 1000 kgf, para fazê-lo subir com uma aceleração de 2 m/s².  Adotar g = 9,78 m/s².

Solução:

P = 1000 kg = 9780 N

F_R = m*a = 1000*2 = 2000 N

F_R = T – P → T – P = 2000 → T = 2000 + P = 2000 + 9780 = 11780 N

Portanto,

T = 11780 N → T = 11780/9,78 = 1204,5 kgf → T = 1204,5 kgf

EX-09

Um corpo de massa 4 kg encontra-se animado de um movimento retilíneo obedecendo à equação horária: s = 5t³ + 3t² - 6t + 1, onde s e t são expressos respectivamente em metros e segundos.  Pede determinar:

a)     a intensidade da força que atua sobre o corpo num instante qualquer;

b)     idem no instante em que a sua velocidade é 147 m/s.

Solução:

s = 5t³ + 3t² - 6t + 1 (m)

(derivando esta expressão de posição, tem-se a equação de velocidade), então,

v = 15t² + 6t – 6 (m/s)

(derivando a equação da velocidade tem-se a equação da aceleração), então.

a = 30t + 6 (m/s²)

a)

F = m.a = 4.(30t + 6) → F = (120t + 24)  N

b)

F = ?, quando v = 147 m/s

v = 15t² + 6t – 6 → 147 = 15t² + 6t – 6 → 15t² + 6t – 153 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau e basta tomar o tempo positivo:

t = 3 s

Calculando a aceleração, para t = 3 s, tem-se:

a = 30t + 6 = 30.3 + 6 = 96 → a = 96 m/s²

Portanto,

F = m.a = 4*96 = 384 → F = 384 N

EX-10

Um plano inclinado de 30º em relação ao horizonte, de 25 metros de comprimento, possui na parte mais alta uma polia mediante a qual um corpo de peso 4 kg descendo segundo vertical, faz subir outro peso de 6 kg ao longo do plano.  Determinar depois de quanto tempo após o início do movimento deve cessar a ação do corpo de peso 4 kg* para que o outro possa, em virtude da velocidade adquirida atingir o ponto mais alto do plano.  Adotar g = 10 m/s².

Solução:

Equação Fundamental da Dinâmica:

F_R = (m_A + m_B).a 

F_R = 40 – 60.sen30º = 40 – 30 = 10

Portanto,

10 = (4 + 6).a → a = 1 m/s²

1ª fase (MRUA – progressivo)

Equação de Torricelli:

(v₁)_t² = (v₁)₀² + 2.a.∆s₁   →  (v₁)_t² = 0 + 2.1.∆s₁   →  (v₁)_t² = 2.∆s₁   → (v₁)_t = √2∆s₁   

2ª fase (MRUA – retardado)

(v₂)_t² = (v₂)₀² - 2.a.∆s₂   → 0 = (√2∆s₁)² - 2.1.(25 - ∆s₁)  →  0 = 2∆s₁ – 50 + 2∆s₁

4∆s₁ = 50 → ∆s₁ = 12,5 m

Para calcular o tempo solicitado, vamos escrever a equação horária do corpo A:

(s₁)_t = (s₁)₀ + (v₁)_0*t₁ +a*t₁²/2 →  12,5 = 0 + 0 +1* t₁²/2 → t₁²  = 25 → t₁  = 5 s

Resposta:  t = 5 s