Fisica2015: Dinâmica - Exercícios Resolvidos

1) Um ponto material de massa igual a 2Kg está apoiado numa superfície horizontal perfeitamente lisa, em repouso. Uma força constante de intensidade 6 N, paralela ao apoio atua durante 10 s, após os quais deixa de existir. Determine: A) a aceleração nos 10 s iniciais; B) a velocidade ao fim de 10 segundos; C) considere a origem dos espaços a posição inicial, onde o corpo estava em repouso, calcule a distância percorrida pelo ponto material após 30 segundos.

Solução:

A) O peso P e a normal N anulam-se verticalmente e por isso, só consideraremos a força F. A força F constante produz a aceleração constante α (MUV).

FR=m.α → F=m.α → 6=2.α → α = 3 m/s²

B) Ao fim de 10s a velocidade do corpo é:

v = v₀ + αt, v₀=0, α=3 m/s², t=10s

Logo: v=0+3.10 = 30 m/s → v = 30 m/s

C) Nos primeiros 10 s → MUV e entre t=10s e t=30s → UM:

I) s = s0 + v₀t + α.t²/2 → ∆s= v₀t + α.t²/2

= 0 + 3.(10)²/2 = 150 m → ∆s = 150 m

II) v=30m/s (após 10s o corpo continua com MU) e ∆t=20s

∆_MU = vt = 30.20 = 600 → ∆_MU = 600 m

Portanto, a distância total percorrida pelo ponto material é:

∆s_total = 150 + 600 = 750 m

Respostas: A) 3 m/s²; B) 30 m/s; C) 750 m

2) Dois corpos A e B, de massas respectivamente iguais a 2 kg e 3 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. A força horizontal F=10N constante é aplicada no bloco A. Determine: A) aceleração adquirida pelo conjunto; B) a intensidade da força que A aplica em B.

Solução:

A) Para aplicarmos a equação fundamental da dinâmica

Devemos analisar as forças que agem em cada bloco.

Em cada bloco, o peso P e a normal N anulam-se verticalmente; por isso,

vamos considerar apenas as forças horizontais, pois a solicitação inicial F

é horizontal. Em A existe a força externa F cuja reação está no agente

externo que a produziu e a força de reação f correspondente à sua ação

de contato em B. Em B existe horizontalmente, apenas a força f ação de

A em B.

A intensidade da resultante das forças em A é (F-f), pois F favorece a

aceleração α e f se opõe. Em B a resultante é apenas f.

Com F = 10 N, m_A = 2 kg, m_B = 3 kg temos:

10 = (2 + 3).α → α = 2 m/s²

B) A intensidade de f, força de A em B pode ser obtida por qualquer uma das equações (1), ou (2) anteriores.

De equação (2): f = m_B.α = 3*2 =6 → f = 6 N

Respostas: A) 2 m/s²; B) 6 N

Observações:

I) Numa interação deste tipo, o corpo A não transmite a B integralmente a força F; a diferença entre o que recebe e o que transmite resulta em aceleração.

II) Um cálculo rápido da aceleração pode ser feito considerando A e B como um único corpo; nessas condições a força f não interfere no cálculo pois passa a ser uma força interna. Assim:

3) Três corpos A, B e C de massas m_A = 1 kg, m_B = 3 kg e m_C = 6 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. A força constante F = 5 N, horizontal, é aplicada ao primeiro bloco A. Determine: a) a aceleração adquirida pelo conjunto; b) a intensidade de força que A exerce em B; c) a intensidade da força que B exerce em C.

Solução:

Como no exercício anterior o peso de cada bloco continua anulado, verticalmente, pela reação normal do apoio. Para determinação da aceleração, consideremos globalmente o sistema de corpos como um único bloco de massa m_A + m_B+ m_C = 10 kg.

Pela equação fundamental da dinâmica:

Para determinar as interações entre os corpos, devemos analisar cada um, separadamente.

Seja f₁ a intensidade da força de A sobre B e f₂, a de B em C.

Respostas: a) 0,5 m/s²; b) 4,5 N; c) 3 N

4) Dois corpos A e B de massas iguais a m_A = 2 kg e m_B = 4 kg estão apoiados numa superfície horizontal perfeitamente lisa. O fio que liga A a B é ideal, isto é, de massa desprezível e inextensível. A força horizontal F tem intensidade igual a 12 N, constante. Determine: a) aceleração do sistema; b) a intensidade da força de tração do fio.

Solução:

a) aceleração do sistema: considerando globalmente os corpos:

F = (m_A + m_B).α → 12 = (2 + 4).α → α = 2 m/s²

b) tração do fio: considerando cada corpo.

Pela equação fundamental da Dinâmica para corpo A.

Corpo (A): T = m_A.α = 2*2 = 4 → T = 4 N

Este resultado poderia, também, ser obtida equacionando-se para o corpo B.

F – T = m_B.α → 12 – T = 4*2 → 12 – T = 8 → T = 4 N

Respostas: a) 2 m/s²; b) 4 N

5) Os corpos A e B da figura tem massas respectivamente iguais a m_A = 6 kg e m_B = 2 kg. O plano de apoio é perfeitamente liso e o fio é inextensível e de peso desprezível. Não há atrito entre a polia e o fio, considerada sem inércia. Adotar g = 10 m/s². Determine: a) a aceleração do conjunto; b) a tração do fio.

a) Considerando separadamente cada corpo:

Em A, a força normal N_A anula a ação do Peso, pois não há movimento vertical. Pela equação fundamental da dinâmica:

T = m_A*α, com m_A = 6 kg → T = 6α (Eq-01)

Considerando o corpo B:

Sua aceleração é a mesma de A pois o fio é ideal (inextensível e massa desprezível): no mesmo intervalo de tempo A e B percorrem as mesmas distâncias e atingem a mesma velocidade.

O peso P_B provoca α e a tração T opõe-se a α; daí, pela equação fundamental, temos:

P_B – T = m_B*α, m_B = 2 kg → P_B – T = 2α (Eq-02)

Substituindo a (Eq-01) em (Eq-02) temos:

T = 6α em P_B – T = 2α → P_B – 6α = 2α → 2*10 = 2α + 6α → 8α = 20

→ α = 2,5 m/s²

Substituindo este valor de α na (Eq-01):

T = 6α → T = 6*2,5 = 15 N → T = 15 N

Respostas: a) α = 2,5 m/s²; b) T = 15 N

Observação:

Podemos calcular a aceleração, considerando A e B como um único bloco.

F_R= P_B → m_(A+B)α = m_B.g

Assim, se (m_A + m_B) é a massa do conjunto, temos:

6) No arranjo experimental da figura os corpos A, B e C têm massas respectivamente iguais a m_A = 5 kg, m_B = 2 kg e m_C = 3 kg. A aceleração da gravidade local é 10 m/s². Os fios são idéias (=inextensíveis e massa desprezível); não há atritos entre fios e as polias. O plano horizontal é perfeitamente liso. Determine: a) a aceleração do sistema de corpos; b) as trações nos fios.

Solução:

O peso de B é anulado pela reação normal do apoio; porém os pesos P_A e P_C são forças externas ativas. P_A é maior que P_C:

Se o sistema partir do repouso, o corpo B move-se da esquerda para a direita, pois, o peso de A é maior que o de C.

O peso P_Afavorece a aceleração e P_C se opõe. Pela equação fundamental da dinâmica aplicada ao conjunto de corpos de massa total (m_A + m_B + m_C) vem:

Para a determinação das trações nos fios, consideremos cada corpo. No caso há duas trações pois temos dois fios. Assim:

Como já temos a aceleração α bastam duas dessas equações para a determinação das trações. De (Eq-1) e (Eq-2), por exemplo, temos:

Respostas: a) 2 m/s²; b) T1=40N; c) T2=36N

7) Um homem de 70 kg está na cabina de um elevador que desce acelerado na razão de 2 m/s². Considere o homem apoiado numa balança, na escala calibrada em newtons. Determine a intensidade da força indicada na balança. Adotar g = 10 m/s2².

Solução:

O elevador desce verticalmente com aceleração α=2m/s² em relação a um Observador Externo em repouso no solo. Este observador externo, que é um referencial inercial, vê atuarem no homem, as forças P, ação da Terra e N, ação da balança no homem. O homem atua na balança, exercendo a força de intensidade N, que é a indicação, pois está calibrada em forças.

A resultante das forças que atuam no homem é F_R = P – N; logo:

Resposta:

A indicação da balança é 560 N

8) No arranjo experimental da figura, A e B têm massas respectivamente iguais a 6 kg e 2 kg. Os fios e as polias têm massas desprezíveis. Não há atritos entre o fio a polia. Determinar: a) a aceleração do conjunto; b) as trações nos fios. Considere que o sistema partiu do repouso e adote g=10 m/s².

O arranjo experimental é conhecido como máquina de Atwood (1745-1807), físico inglês, que com um arranjo deste tipo estudou a queda dos corpos.

a) O corpo A desce enquanto B sobe, pois o peso de A é maior que o de B.

Para o conjunto de corpos de massa total (m_A+ m_B), o peso P_A favorece a aceleração e P_B se opõe:

b) Vamos calcular a força de tração no fio que liga A a B.

Qualquer uma das equações anteriores nos fornece T.

Vamos tomar a (eq-2):

A tração T1 no fio que liga o eixo da polia ao teto pode ser obtida como se segue:

A polia não possui peso e seu eixo está em equilíbrio. Deste modo a resultante das forças é nula.

Respostas: a) α = 5 m/s²; b) 30 N e 60 N

9) Determine a força que o homem deve exercer no fio para manter em equilíbrio estático o corpo suspenso de 360 N. Os fios são considerados inextensíveis e de massas desprezíveis; entre os fios e as polias não há atrito. As polias são ideais, isto é, não possuem massa.

Solução:

Para haver equilíbrio, a resultante da força deve ser nula. No corpo suspenso, a tração T é igual ao peso P = 360 N, pois não há aceleração. A distribuição de trações é como indicam as figuras a seguir:

Resposta: 45 N

10) O sistema esquematizado compõe-se de um elevador de massa M e um homem de massa m. O elevador está suspenso a uma corda que passa por uma polia fixa e vem às mãos do operador; a corda e a roldana são supostas ideais. O operador puxa a corda e sobe com aceleração constante α, juntamente com o elevador. São supostos conhecidos M, m, α e g. Determine a força que a plataforma exerce no operador.