Cinemática – Distância Mínima e Máxima

Distância mínima e máxima em relação à origem dos espaços do móvel cuja equação horária é do tipo função do 2º grau.

Genericamente temos: s(t) = c + bt + at²  e sabemos que as coordenadas do vértice no plano cartesiano são dadas por:  Vértice = (-b/2a, -∆/4a).  

Vamos deduzir as coordenadas do vértice: Vértice = (-b/2a, -∆/4a).  

Pelas figuras acima temos podemos afirmar que:

(1)     t₁ e t₂ são raízes da função horária;

(2)     t_v é ponto médio de t₁ e t₂.

Vamos tomar as raízes e substituir na equação: c + bt + at²  = 0

(t = t₁) →  c + bt₁+ at₁² = 0  (I)

(t = t₂) →  c + bt₂+ at₂² = 0  (II)

(I) = (II) → c + bt₁+ at₁² = c + bt₂+ at₂²  ↔  bt₁+ at₁² = bt₂+ at₂²  ↔

at₁² - at₂²  = bt₂ - bt₁  ↔  a(t₁² - t₂² ) = b(t₂ - t₁)  ↔ a( t₁ + t₂)(t₁ - t₂) = b(t₂ - t₁) = -b(t₁ – t₂)  ↔ a( t₁ + t₂) = -b  ↔ ( t₁ + t₂) = -b/a ↔  ( t₁ + t₂)/2 = -b/2a  (III)

Por outro lado: temos que t_v é ponto médio de t₁ e t₂, isto é:

t_v = ( t₁ + t₂)/2  (IV)

Comparando (III) e (IV) temos que:  t_v = -b/2a

Vamos calcular o Sv:

S(t_v=-b/2a) = c + b(-b/2a) + a(-b/2a)² = c –b²/2a + b²/4a = (4ac – b²)/4a = - (b²-4ac)/4a = -∆/4a  ↔  S_v = -∆/4a

Portanto, as coordenadas do vértice são: Vértice = (-b/2a, -∆/4a)

OUTRA MANEIRA DE OBTER RAPIDAMENTE AS COORDENADAS DO VÉRTICE É APLICAR O CONCEITO DE DERIVADA.

Seja uma equação horária genérica s(t) = c + bt + at².

A derivada ds(t)/dt = b+2at, para o ponto de mínimo, ou máximo, basta igualar a zero, então temos: 0 = b+2at ↔ t = -b/2a ↔ t_v = -b/2a

E para obter Sv, basta substituir na equação horária inicial e temos:

S(t_v=-b/2a) = c + b(-b/2a) + a(-b/2a)² = c –b²/2a + b²/4a = (4ac – b²)/4a = - (b²-4ac)/4a = -∆/4a  ↔  S_v = -∆/4a

Portanto, as coordenadas do vértice são: Vértice = (-b/2a, -∆/4a)